Diferenças
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| - Mostre que o método de Euler com diferenças centradas é exato em <latex>{\cal O}(h^2)</latex>, onde h é o passo de discretização da derivada. Nesse método escrevemos <latex> \frac{df}{dx}=\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}</latex> | - Mostre que o método de Euler com diferenças centradas é exato em <latex>{\cal O}(h^2)</latex>, onde h é o passo de discretização da derivada. Nesse método escrevemos <latex> \frac{df}{dx}=\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}</latex> | ||
| - | - Calcule a derivada numérica de <latex>f(x)=\frac{sin(x^2)e^{x/3}}{\sqrt{(x^2+4)}}</latex> no ponto x=3 usando o método de Euler simples com passo de discretização entre <latex>h=10^{-8}</latex> e <latex>h=1</latex> e faça um gráfico mostrando a diferença relativa entre a derivada numérica e o valor exato da derivada para ponto flutuante com precisão simples e dupla. Entre quais valores de h a aproximação é aceitável? | + | - Calcule a derivada numérica de <latex>f(x)=\frac{sin(x^2)e^{x/3}}{\sqrt{(x^2+4)}}</latex> no ponto x=3 usando o método de Euler simples com passo de discretização entre <latex>h=10^{-8}</latex> e <latex>h=1</latex> e faça um gráfico mostrando a diferença relativa entre a derivada numérica e o valor exato da derivada para ponto flutuante com precisão simples e dupla. Entre quais valores de h a aproximação é aceitável? (Solução [[http://davinci.if.ufrgs.br/wiki/index.php/Derivada_Num%C3%A9rica|aqui]]) |
| - Mostre que o método de Euler é instável para qualquer passo h na solução do problema de crescimento exponencial <latex> \frac{dy}{dx}=\lambda x</latex> | - Mostre que o método de Euler é instável para qualquer passo h na solução do problema de crescimento exponencial <latex> \frac{dy}{dx}=\lambda x</latex> | ||
| - | - Integre a equação diferencial <latex>\frac{dy}{dt}-y=-\frac{1}{2}e^{t/2}\sin(5t)+5e^{t/2}\cos(5t)</latex> com <latex>y(0)=1</latex> com o método de Euler simples para diferentes valores de passo h=0.1, h = 0.05, h = 0.01, h = 0.005 e h = 0.001 e compare cada solução em t=1,2,3,4 e 5 com a solução exata <latex>y(t)=e^{t/2}sin(5t)</latex> . Faça um gráfico com a solução para h=0.05 entre t=0 e t=5 e a solução exata. | + | - Integre a equação diferencial <latex>\frac{dy}{dt}-y=-\frac{1}{2}e^{t/2}\sin(5t)+5e^{t/2}\cos(5t)</latex> com <latex>y(0)=1</latex> com o método de Euler simples para diferentes valores de passo h=0.1, h = 0.05, h = 0.01, h = 0.005 e h = 0.001 e compare cada solução em t=1,2,3,4 e 5 com a solução exata <latex>y(t)=e^t+e^{t/2}sin(5t)</latex>. Voce pode encontrar essa solução exata digitando a equação diferencial no site do [[http://www.wolframalpha.com|WolframAlpha]] |
| + | - Faça um gráfico com a solução para h=0.05 entre t=0 e t=5 e a solução exata. | ||
| - Resolva o problema acima com o método de Euler com diferenças centradas e os mesmos valores de h. Para obter o primeiro passo use o método de Euler simples com passo de discretização dez vezes menor que o usado no resto do intervalo. | - Resolva o problema acima com o método de Euler com diferenças centradas e os mesmos valores de h. Para obter o primeiro passo use o método de Euler simples com passo de discretização dez vezes menor que o usado no resto do intervalo. | ||
| * Referências | * Referências | ||
